Kelly

凯利公式 (Kelly Criterion)，又称“凯利策略”、“凯利方程式”，是由科学家John L. Kelly, Jr.于1956年在Bell Labs任职期间发表的论文中提出的一个著名公式。它最初是为了解决一个关于长途电话线路噪音问题的理论模型，但很快就因其在赌博和投资领域的革命性应用而闻名遐迩。凯利公式的核心作用是，在一个存在概率优势的重复性博弈中，计算出每次下注占总资金的最佳比例，从而实现长期资本复利增长的最大化。对于投资者而言，它提供了一个将“胜率”和“赔率”这两个核心要素转化为具体“仓位”的数学框架，是价值投资中关于仓位管理 (Position Sizing) 的重要理论基石。

凯利公式的起源故事本身就充满传奇色彩，它完美地诠释了“无心插柳柳成荫”这句谚语。 上世纪50年代，美国电话电报公司（AT&T）的贝尔实验室里，天才云集。其中一位名叫约翰·凯利的物理学博士，正和他的同事，信息论之父Claude Shannon，研究如何降低长途电话信号中的噪音干扰。凯利发现，赌徒在面对不确定信息（比如赛马情报）时做决策的过程，与通信工程师在充满噪音的信道中恢复原始信号的过程，在数学上惊人地相似。 他将这个想法写成了一篇名为《信息率的新解释》的论文。论文的核心结论是：如果一个赌徒拥有比庄家更多的信息（也就是拥有“优势”或“Edge”），那么他可以通过一个特定的公式来决定每次下注的金额，使得自己的资金能够以最快的速度增长，并且从理论上讲，永远不会破产。 这个公式一经发表，立刻在赌徒和投机者中引起了轰动。一位名叫Ed Thorp的数学天才，利用凯利公式和自己发明的算牌法，在拉斯维加斯的二十一点牌桌上大杀四方，最终被各大赌场列入黑名单。后来，索普将这一理论应用于金融市场，创立了史上第一家量化对冲基金，同样取得了巨大的成功。从此，凯利公式正式从赌桌走向了华尔街，成为无数顶尖投资者秘而不宣的“独门武器”。

凯利公式的数学形式并不复杂，其最常见的表达方式如下： f* = (bp - q) / b 让我们像剥洋葱一样，一层层解析这个公式里的每个字母代表什么：

• f*：这就是我们追求的终极答案——最佳下注比例。它告诉你，每次应该拿出总资金的多大一部分（一个百分比）去下注。
• p：获胜的概率 (Probability of winning)。在抛硬币游戏中，这个概率是50%。在投资中，这是你判断一家公司股价会上涨的概率。
• q：失败的概率 (Probability of losing)。它等于 1 - p。如果获胜概率是60%，那么失败概率就是40%。
• b：赔率 (Odds)。这个概念稍微复杂一点，它指的是“净赔率”，即你赢了能赚多少钱与你输了会亏多少钱的比率。计算公式是：b = 盈利金额 / 亏损金额。

为了让大家彻底理解，我们来看一个简化的例子。 假设有人跟你玩一个抛硬币的游戏，规则如下：

• 硬币并不均匀，出现正面的概率（p）是60%，反面的概率（q）是40%。
• 你下注猜正面。如果猜对了，你除了拿回本金，还能赢得和本金一样多的钱；如果猜错了，你就输掉本金。
• 在这种情况下，你的赔率（b）是多少呢？因为赢了赚1元，输了亏1元，所以 b = 1 / 1 = 1。

现在，我们把这些数字代入凯利公式： f* = (1 x 0.6 - 0.4) / 1 f* = (0.6 - 0.4) / 1 f* = 0.2 计算结果是0.2，也就是20%。凯利公式告诉你：在这个游戏中，每次拿出你总资金的20%去下注，是让你的财富实现长期最大化增长的最优策略。 如果你下注太少（比如只下5%），你的资金增长会很慢，错失良机。如果你下注太多（比如下了50%），虽然可能在某几局里赚得盆满钵满，但由于波动性急剧增大，一次失利就可能让你损失惨重，长期来看反而拖累了整体的增长率。而20%，就是那个能完美平衡风险与收益的“黄金分割点”。

看到这里，你可能会问：投资毕竟不是抛硬幣，公司的未来充满不确定性，我们怎么知道“胜率p”和“赔率b”呢？ 这正是凯利公式在投资领域应用的精髓与难点所在，也是它与价值投资理念完美契合的地方。伟大的投资者，如Warren Buffett和Charlie Munger，虽然从不公开宣称自己是凯利公式的信徒，但他们的投资决策中处处闪耀着凯利思维的光芒。

• 胜率 (p) 的估算： 在投资中，胜率p不再是一个精确的数学概率，而是基于深度基本面分析后得出的“置信度”。它来源于你对一家公司商业模式、护城河、管理层、财务状况的理解有多透彻。当你通过研究，认为一家公司被市场严重低估，其内在价值远高于当前股价时，你就获得了概率优势。你的研究越深入，你的“护城河”理论越扎实，你的p值就越高。巴菲特所说的“只投资于自己能理解的‘能力圈’之内”，本质上就是在寻找高p值的投资机会。
• 赔率 (b) 的估算： 赔率b则与价值投资的核心概念——“安全边际” (Margin of Safety) 息息相关。
  • 盈利空间（潜在上涨空间）：这是你估算的公司内在价值与当前市价之间的差距。差距越大，你赢的时候能赚的钱就越多。
  • 亏损空间（潜在下跌空间）：这是你为这笔投资设定的止损点，或者在最坏情况下公司价值可能跌到的位置。
  • b = 潜在上涨空间 / 潜在下跌空间。一个拥有巨大安全边际的投资，意味着它的b值非常诱人。比如，你认为一支股票的内在价值是100元，现价是50元，而你认为在最坏情况下它也值40元。那么你的潜在上涨空间是50元（100-50），潜在下跌空间是10元（50-40），赔率b高达 50 / 10 = 5。这是一个极具吸引力的赔率。

芒格曾说：“我们成功的诀窍是去做一些简单的事情，而不是去解决难题。” 在他看来，那些他能清晰看懂（高p值）、且价格远低于价值（高b值）的投资机会，就是“简单的事情”。当这样的机会出现时，他们会“用一个大桶去接”，也就是重仓下注。这正是凯利思维的体现。

凯利公式是放大优势的利器，但也是一把双刃剑。在实际应用中，我们必须清醒地认识到它的优点和潜在的风险。

• 科学的仓位管理： 它提供了一个理性的、量化的仓位决策框架，帮助投资者克服贪婪与恐惧的人性弱点。市场狂热时，它提醒你不要过度追高；市场恐慌时，它给予你重仓买入便宜资产的勇气。
• 最大化长期回报： 遵循凯利公式，可以在控制破产风险的前提下，最大化资本的长期几何平均回报率。这是复利效应最强大的助推器。
• 集中投资的理论依据： 它完美解释了为什么顶尖的价值投资者通常会采取集中投资策略。因为真正符合高p、高b标准的机会凤毛麟角，一旦发现，就应该重仓出击，而不是将资金平均分散在几十个平庸的机会上。

• “垃圾进，垃圾出” (GIGO)： 凯利公式本身是完美的，但它的输出完全依赖于你输入的p和b。如果你过于乐观，高估了胜率和赔率，公式也会毫不留情地建议你押上重注，而这可能直接导致灾难性的亏损。输入的质量决定了输出的质量。
• 剧烈的波动性： 即使你的估算是准确的，完全按照凯利公式（全凯利）计算出的比例进行投资，你的资产净值也会经历极其剧烈的波动。这种“过山车”式的体验，对绝大多数人的心理承受能力都是巨大的考验，很容易导致在低谷时因恐惧而放弃策略，前功尽弃。
• “黑天鹅”风险： 凯利公式假设p和b是已知或可以较为准确估算的。但在现实世界中，总有一些意想不到的极端事件（黑天鹅）会发生，它们会瞬间颠覆你所有的前提假设。

为了解决“全凯利”波动性过大的问题，聪明的投资者们发展出了一套实用的应对策略——分数凯利 (Fractional Kelly)。 最常见的就是“半凯利”，即只下注凯利公式建议仓位的一半。比如，公式算出来应该投20%，你实际上只投10%。这样做的好处是：

• 大幅降低波动： 资产曲线会变得平滑得多，让你更容易坚持下去。
• 保留大部分收益： 研究表明，采用“半凯利”策略，你大约可以获得“全凯利”策略75%的长期收益，但只需承受其50%的波动性。这是一笔非常划算的交易。

对于普通投资者来说，使用半凯利、四分之一凯利，甚至更低比例的凯利策略，是更稳健和现实的选择。

作为一名普通的价值投资者，你不必每天拿着计算器去精确计算每只股票的凯利比例。凯利公式对我们而言，更重要的价值在于它提供了一种强大的思维模型 (Mental Model)。

1. 养成概率思维： 在做任何投资决策前，问问自己：这笔投资的胜率（p）大概是多少？潜在的收益和亏损（b）分别是多少？强迫自己进行量化思考，而不是凭感觉。
2. 寻找非对称性机会： 真正好的投资机会，都具有“赢了赚大钱，输了亏小钱”的特性，也就是极高的赔率b。这是价值投资寻找“安全边际”的数学化表达。
3. 把你最好的想法押上重注： 当你经过深入研究，发现了一个确定性极高（p值大）且赔率极好（b值大）的机会时，你应该敢于下重注。这就是巴菲特所说的“当机会来临时，要狠狠地抓住它”。
4. 永远给自己留有余地： 永远不要All-in！凯利公式的计算结果永远不会是100%（除非p=1，即100%确定盈利），这本身就蕴含了对风险的敬畏。采用分数凯利策略，则是在此基础上增加了双重保险，确保你能在市场的风浪中活下来。

总而言之，凯利公式不是一个能预测市场的“水晶球”，而是一个帮助你优化决策的“导航仪”。它不能告诉你哪条路是对的，但当你自己判断出一条大概率正确的道路时，它能告诉你应该踩下多深的油门，才能最快、最稳地到达财富的终点。